ESTADÍSTICA
·
Antecedentes
históricos
La
estadística es la ciencia cuyo objetivo es reunir una información cuantitativa
en interpretación de números con el fin de realizar una toma de decisiones, la estadística
fue hallada por John Graunt en el antiguo Egipto desde la civilización han
existido formas sencillas de estadística pues ya se utilizaban representaciones
gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas
para contar el número de personas, hacia el año 3000 a.C los babilonios utilizaban pequeñas tablillas
de arcilla para recopilar datos sobre la producción agrícola y géneros vendidos.
Los egipcios analizaban los datos de población y la renta del país antes de la construcción
de las pirámides aproximadas al año 3000 a.C. los libros bíblicos de números y crónicas
incluyen trabajos de la estadística, el primero contiene dos censos de la población
de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías.
En la población de china existían registros similares con anterioridad al año 2000 a.C.
Los griegos realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el año 594
a.C para la comprobación de los impuestos. El imperio romano fue el primero
gobierno que recopilo cantidades de datos acerca de la población, superficie y
la renta de todos los territorios que estaban bajo su control, en la edad media
solo se realizaron censos en Europa. Durante el brote de peste que apareció a
finales de la década 1500 el gobierno inglés comenzó a publicar estadísticas semanales de
los descensos, la cuenta de mortalidad, los nacimientos y los fallecimientos
por sexo. El campo de la estadística se refiere al cálculo de probabilidades en
la rama de internismo o relatividad y fue conocida en la rama de la física.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
La
medidas de centralización nos indican en torno a qué valor (centro) se
distribuyen los datos.
Las
medidas de centralización son:
MODA
La moda
es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.
Se
representa por Mo.
Se puede
hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.
Si en un
grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es
la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias
modas.
·
Cálculo
de la moda para datos agrupados
ü Li es el límite inferior de la clase modal.
ü fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.
ü fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente
inferior a la en clase modal.
ü fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente
posterior a la clase modal.
ü ai es la amplitud de la clase.
También
se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:
·
Intervalos
de amplitudes distintas
-
Ejemplo:
Calcular la moda de la siguiente serie de
números: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.
- Mo = 5
MEDIANA
Es el valor que ocupa el lugar central de todos los
datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.
La mediana se representa por Me.
La mediana se puede hallar sólo para variables
cuantitativas.
·
Cálculo
de la mediana para datos agrupados
La mediana se encuentra en el intervalo donde la
frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias
absolutas.
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que
se encuentre N/2
·
Li es el
límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
·
N/2 es la
semisuma de las frecuencias absolutas.
·
Fi-1 es
la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
·
ai es la
amplitud de la clase.
La mediana es independiente de las amplitudes de
los intervalos.
-
Ejercicio
Hallar la mediana de las
siguientes series de números:
-
3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8.
- 2,
2, 3, 5, 5, 5, 6, 8, 9.
- Me
= 5
-
3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6.
- 2,
2, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 9.
- 10/2
= 5 
MEDIA ARITMÉTICA
La media
aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado
entre el número total de datos.
Es el símbolo de la media aritmética es el
símbolo de la media aritmética.
·
Media
aritmética para datos agrupados
Si los
datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media
es:
a. 
b. 
-
Ejercicio
A un conjunto de 5 números cuya media es 7.31
se le añaden los números 4.47 y 10.15. ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?
-
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Hasta
el momento hemos estudiado los valores centrales de la distribución, pero
también es importante conocer si los valores en general están cerca o alejados
de estos valores centrales, es por lo que surge la necesidad de estudiar
medidas de dispersión.
Hemos estudiado varias medidas de centralización, por lo
que podemos hablar de desviación con respecto a cualquiera de ellas, sin
embargo, la más utilizada es con respecto a la media.
- Ejercicio
12,
13, 16, 18, 12, 13, 14, 19,
R=
19 – 12= 7
DESVIACIÓN
Es la diferencia que se observa entre
el valor de la variable y la media aritmética. La denotaremos por di.
No es una medida, son muchas medidas,
pues cada valor de la variable lleva asociada su correspondiente desviación,
por lo que precisaremos una medida que resuma dicha información.
La primera solución puede ser calcular
la media de todas las desviaciones, es decir, si consideramos como muestra la
de todas las desviaciones y calculamos su media. Pero esta solución es mala
pues como veremos siempre va a ser 0.
Luego por lo tanto esta primera idea
no es válida, pues las desviaciones positivas se contrarrestan con las
negativas.
Para resolver este problema, tenemos dos
caminos:
- Tomar
el valor absoluto de las desviaciones. Desviación
media
- Elevar
al cuadrado las desviaciones. Varianza.
- Ejercicio
- Hallar
la desviación de los números siguientes:
2, 3, 6, 8, 11.
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
2, 3, 6, 8, 11.
VARIANZA
Es la media de los cuadrados de
las desviaciones, y la denotaremos por 
o también
por
.
o también
por.
Aunque también es posible
calcularlo como:
Este estadístico tiene el
inconveniente de ser poco significativo, pues se mide en el cuadrado de la
unidad de la variable, por ejemplo, si la variable viene dada en cm. La
varianza vendrá en cm2.
- Ejercicio
- Hallar,
la varianza de las series de números siguientes:
2, 3, 6, 8, 11.
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
2, 3, 6, 8, 11.
PROBABILIDAD
La probabilidad es una medición numérica
que va de 0 a 1 de la posibilidad de que un
ocurra. Si da cerca de 0 es improbable que ocurra el evento y si
da cerca de uno es casi seguro que ocurra.
P (a): nº de resultados en
que ocurra a
Nº de resultados posibles
Tipos de sucesos
·
·
Exhaustivo: se dice que dos o más sucesos son exhaustivos si se
consideran todos los posibles resultados.
Simbólicamente: p (A o B
o...) = 1
·
No exhaustivos: se dice que dos o más sucesos son exhaustivos si
no cubren todos los posibles resultados.
·
Mutuamente excluyentes: sucesos que no pueden ocurrir en forma
simultánea:
P(A y B) = 0 y p(A o B) =
p(A) + p (B)
Ejemplo:
,
·
No mutuamente excluyentes: sucesos que pueden ocurrir en forma
simultánea:
P (A o B) = p (A) + p (B)
? p (A y B)
Ejemplo: hombres, ojos
cafés
·
Independientes: Sucesos cuya probabilidad no se ve afectada por la
ocurrencia o no ocurrencia del otro :
P ( AI B ) = P ( A ); P (
BIA ) = P (B) Y P (A Y B) = P(A) P(B)
Ejemplo: sexo y color de
ojos
·
Dependientes: sucesos cuya probabilidad cambia dependiendo de la
ocurrencia o no ocurrencia del otro:
P ( AI B ) difiere de p
(A); P ( BIA ) difiere de P(B);
Y P (A Y B)= P ( A ) P (
BIA )= P (B) P ( AI B )
REGLA
DE LA ADICIÓN
La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de
ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las
probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes,
es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.
P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B)
si A y B son mutuamente excluyente. P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) si A y B
son no excluyentes.
Siendo: P(A) = probabilidad de
ocurrencia del evento A. P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B. P(A y
B) = probabilidad de ocurrencia simultánea de los eventos A y B.
- Ejercicio
Se lanzan un
dado. Usted gana $ 3000 pesos
si el resultado es par ó
divisible por tres ¿Cuál es la
probabilidad de ganar ?
Lo que primero
hacemos es definir los sucesos:
Sea A = resultado par:
A = { 2, 4, 6 }
Sea B = resultado
divisible por 3: B = {3, 6} . Ambos sucesos
tienen intersección?
Luego,
REGLA
DE LA MULTIPLICACIÓN
La regla de la multiplicación
establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos
estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades
individuales.
P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B
son independientes. P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B son dependientes.
- Ejercicio
Supongamos que se extrae una carta de una
baraja de 52 cartas bien barajada. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea
o un rey o una figura negra
Hay52 sucesos o eventos simples. Sean los sucesos o eventos
Hay 4 reyes. A = Que la carta sea un rey.
Hay 6figuras negras B = Que la carta sea una figura negra
P ( A U B ) =P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B )
P(A U B)= 4/52 + 6/52 – 2/52 = 8/52= 0.15
REGLA
DE LAPLACE
La regla
de Laplace establece que:
·
La
probabilidad de ocurrencia de un suceso imposible es 0.
·
La
probabilidad de ocurrencia de un suceso seguro es 1, es decir, P(A) = 1.
Para aplicar la regla de Laplace es
necesario que los experimentos den lugar a sucesos equiprobables, es decir, que
todos tengan o posean la misma probabilidad.
·
La
probabilidad de que ocurra un suceso se calcula así:
P(A) = Nº de casos favorables / Nº de
resultados posibles
- Ejercicio
Hallar la probabilidad de que al lanzar dos monedas
al aire salgan dos caras.
Casos posibles:
{cc, cx, xc, xx}.
Casos favorables:
1.
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Sean A y B dos
sucesos de un mismo espacio muestra E.
Se llama probabilidad del suceso B condicionado a A y se representa por P(B/A) a la probabilidad del suceso B una vez ha ocurrido el A.
-
Ejercicio
Calcular la
probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par.
Sucesos independientes
Dos sucesos A y B
son independientes si
p(A/B) = p(A)
Sucesos dependientes
Dos sucesos A y B
son dependientes si
p(A/B) ≠ p(A)
